希伍德证明“五色定理”如下：“不妨设五种颜色是红，白，黄，黑，蓝。我们对顶点数用数学归纳法来证明。当顶点数V=1，2，3，4，5时，定理显然成立。设顶点数V=k（k>=6）时定理也成立，我们考察V=k+1时的情形。由引理，在这个平面图中存在一个顶点v，它的度数小于或等于5。现在我们将此顶点v除去，剩下来的是一个顶点数为k的平面图，由数学归纳法的假设，可以用红，白，黄，黑，蓝五种颜色将它（即除去v的图）涂好。然后再把v点加进去，看看v应该涂哪种颜色才好。……”[1,2,3,4,5]。
      就这样，希伍德证明了，当顶点V=k+1（d（v）<=5）时，“五色定理”成立，从而宣告“五色定理”证明成功。
      对比数学归纳法证明的数学命题与希伍德证明的数学命题“五色定理”，发现希伍德对顶点数用数学归纳法来证明“五色定理”有以下几个原则性的错误[6]。
      1.希伍德混淆了“自然数”与“变数”的概念
     数学归纳法是用来证明那些无穷大又与自然数n有关的数学命题，即n∈N[7]。
      可用下面式子表达：
      n={1，2，3，…… k，k+1，……} ………………………………………（A）
      因为自然数n是具有正整数点连续递增的性质，它符合递推的规律。所以与自然数n有关的数学命题就能证明从1开始的所有自然数n都成立[7]。
      希伍德证明的数学命题（“五色定理”）是与顶点数V有关[1,2,3,4,5]。
      可用下面式子表达：
      设V为顶点集（顶点数）；v为各个顶点；d（v）为各个顶点v所带的度数。
      V={v1，v2，v3，…… vk，vk+1，……} …………………………………（B）
      在图中各个顶点v是由任意取1，2，3，……k，……为序号和其所带相同或不同的度数d（v）组合而成。
      因为序号k是任意取的，不能代表各个顶点v的性质，只能作为各个顶点v的下标，而各个顶点v所带的度数d（v）才是真正代表各个顶点v的性质；又因为各个顶点v的次数之和为各个顶点v的度数d（v）[5]，所以v的数值可以用d（v）来表示。如图B中，顶点vk，v k+1，vk+2的下标是序号k，k+1，k+2，而其所带的度数是d（v k）=5，d（v k+1）=5和d（v k+2）=7。可见：各个顶点v的序号k是自然数, 而各个顶点v所带的度数d（v）是一个不连续而没有规律的“变数”，所以各个顶点v也是一个不连续而没有规律的“变数”。再由(B)式可推出：顶点数V也是一个不连续而没有规律的“变数”，即V N。因为顶点数V不具有像自然数一样的正整数点连续递增的性质，它不符合递推的规律，所以与顶点数V有关的数学命题（“五色定理”）就不能证明从v1开始的所有顶点数V都成立。
      可见，自然数n与顶点数V是两个不同的概念。所以希伍德对顶点数用数学归纳法来证明“五色定理”，犯了混淆“自然数”与“变数”基本概念的错误。
      2.希伍德在证明“五色定理”第二步骤中所列出的两个式子都是错误的数学归纳法证明的命题第二步骤中：
      假设当n=k（k∈N，且k>=n0）时结论正确[7]。………………………（C）
      证明当n=k+1时结论也正确[7]。…………………………………………（D）
      而希伍德证明的“五色定理”第二步骤中：
      设顶点数V=k（k>=6）时定理成立[1,2,3,4,5]。………………………（E）
      当顶点数V=k+1（d（v）<=5）时“五色定理”也成立[1,2,3,4,5]。……（F）
     （1）由（E）式与（C）式比较可见：（E）式括号里少了k∈N。
根据（B）式；又根据希伍德对顶点数用数学归纳法来证明。所以第二步骤中应表示为：
假设当顶点数V=vk（k∈N，且k>=6）时“五色定理”成立。…………（G）
（E）式与（G）式比较可见：希伍德用k（自然数）代替vk（变数），错误的把只能作为各个顶点v的下标的序号k（自然数）当成各个顶点v（变数）来证明；又因为V∉N，V≠ k。所以（E）式是错误的。
      综上所述，希伍德证明的“五色定理”与自然数无关（就是以经典数学归纳法变型来证明五色定理也必须要与自然数有关[8]）；也就无法用数学归纳法证明图中每一个(所有)顶点v“五色定理”都成立，这与希伍德设顶点数V=k（k>=6）时（质疑为什么少了k∈N呢？）互相矛盾；又因为（E）式是错误的，所以（E）式不符合数学归纳法第二步骤的假设条件，因此希伍德假设的“五色定理”成立是没有根据的。这在逻辑推理上犯了不足为据的错误。
（2）由（F）式与（D）式比较可见：（F）式多了（d（v）<=5），即有意选用d（v）<=5的顶点，而回避d（v）>=6的顶点。
      由2，（1）同理第二步骤中应表示为：
      证明当顶点数V= vk+1时“五色定理”也成立。……………………………（H）同理可证（F）式是错误的。
     从希伍德证明“五色定理”如下：“……由引理，……加进去，……”。可看出：希伍德用d（v）来证明“五色定理”成立。希伍德乱套数学归纳法的格式，选用d（v）<=5的顶点（质疑为什么不选用d（v）>=6的顶点呢?），作为第k+1个顶点来证明“五色定理”成立。希伍德没有证明图中d（v）>=6的顶点，“五色定理”成立。希伍德证明的“五色定理”只限制在（d（v）<=5）的顶点。如图B，当V= vk+2（d（v k+2）=7）时，希伍德没有证明“五色定理”成立。
      结论：希伍德只证明d（v）<=5的顶点，“五色定理”成立与希伍德提出对顶点数用数学归纳法来证明“五色定理”成立（必须证明包括d（v）>=6的顶点在内所有度数的顶点v，“五色定理”都成立）不符。这种企图以d（v）<=5的顶点代替所有度数的顶点“五色定理”都成立，这在逻辑推理上犯了“以偏概全”、“以局代整”的错误。

      3.总结：数学归纳法两个步骤的第一步是递推的基础；第二步是递推的依据，两者缺一不可[7]。
     希伍德用d（v）与在（E）、（F）中用k（自然数）来证明“五色定理”成立互相矛盾。
      从2，（1）的一少和2，（2）的一多；又从希伍德证明的“五色定理”第二步骤中：（E）和（F）两个式子都是错误的。说明希伍德改动了数学归纳法的第二步骤(改动了经典理论)，因此希伍德证明的“五色定理”递推的依据出现了差错，“五色定理”也就无法成立。
      因为V=vk 和V= vk+1 都是变数。所以（G）和（H）两个式子不能递推，也就没有递推的依据 ，故不能对顶点数用数学归纳法来证明“五色定理”成立。
结论：希伍德对顶点数用数学归纳法来证明“五色定理”，这种方法是错误的。从而否定了希伍德证明的“五色定理”。
      参考文献
      [1] 欧阳光中.地图四色问题[M].北京：人民教育出版社，1981.28～33.
      [2] 殷剑宏、吴开亚.图论及算法（必修课教材）[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2006.146～149.
      [3] 于筑国.离散数学（基础教材）[M].北京：国防工业出版社，2005.273～275.
      [4] 傅彦、顾小丰、六启和编著.离散数学（高等院校计算机科学与技术“十五”规划教材）[M].机械工业出版社，232～233.
      [5] 耿素云.集合论与图论[M].北京：北京大学出版社，1998.177，308～310.
      [6] 申成勇 宝剑锋丛磨砺出 梅花香自苦寒来[J] 中国贸易报，2009，7，28。人物12板相关联接。
      [7] 方明一等.代数（高级中学课本下册）[M].北京：人民教育出版社，1995.115～127.
      [8] 张文俊编.数学欣赏[M].深圳：深圳大学数学与计算科学学院，2010.114～117.